数学が苦手を克服するための二次関数

高校数学の基礎「二次方程式・二次関数」

高校数学の基礎は二次関数である、というのはよく言われていることです。
その理由は、二次関数はその単元のみで完結する内容ではなく、他の単元のベースになっていたり、融合問題を作る時に非常に使い勝手が良いからです。
例えば、「微・積分法」「三角関数」「指数・対数関数」などではモロに二次関数が登場しますし、一見二次関数とは関係なさそうな「確率」でも融合問題として二次関数が使用されたりします。
つまり、二次関数の内容がしっかりと定着していないのに他の単元の学習を行っても、効果はほとんどのぞめないのです。
これが高校数学の基礎が二次関数であるといわれる最大の理由です。

もちろん、これは大正解であり、異論を差し挟む余地はないのですが、もう1つ別の理由が考えられます。
それは、上記の5つの能力をバランスよく鍛えるのに「二次関数」がもっとも適しているということです。
問題を解く上で、使われる能力にはそれぞれの単元で若干差があります。たとえば「確率」では計算力はほとんど問われません(算数レベルの計算がほとんど)。その代わり、立式力が非常に重要になってきます。
このような偏りが少なく、5つの能力をバランスよく問われるのが「二次関数」なのです。

では具体的に、簡単な二次関数の問題で5つの能力の使用例をご紹介しましょう。

数学の問題1

二次関数を修了した人であれば、この問題を解く上での知識面は問題ないはずです。
まず解けそうな人は解いてみてください。

では、5つの能力をどのように使用するかに注目しながらこの問題を解いてみましょう。

まずはざっと問題に目を通すと、グラフCが主役であることが分かりますね。【読解力】
そこで二次関数のグラフの概形をかいてみましょう。

【表現力】
数学の図2(表現力)

まあ、非常に単純なグラフですから、頭の中でイメージができればそれでOKです。
求めなさいと言われているものは
「線分ABの長さが2以上となるkの範囲」【読解力】ですから、
ABの長さを求める式を立ててみましょう。

数学の式1(立式力) …※1 【立式力】

となります。この式を完成させるには、A,Bのx座標を求める必要がありますね。
では、2点A,Bのx座標を求めてみましょう。「A,BはグラフCとx軸との交点」【読解力】ですから、

数学の式2(立式力) …※2 【立式力】

この2次方程式の解がA,Bのx座標になるわけですが、文字a,bが式の中に使われています。解の公式を使ってこの2次方程式を解いたところで、未知数a,bが解に含まれているのではあまり意味がありません。
しかもこのままだと、求めなさいと言われているkも登場しないまま終わってしまいそうです。

そこでいったん視点を変えて、問題文の最初の一文に注目してみましょう。
「Cが2点(0,4)(2,k)を通る」とありますね。
「通る」=「代入できる」ということですから【読解力】、2点の座標をそれぞれ代入してみましょう。すると次のような連立方程式ができます。

数学の式3(立式力) 【立式力】

これを解くと

数学の式4(立式力) 【計算力】

未知数bが4だとわかり、aもkを使って表すことができました。
そこで話を※2の式に戻して、いま求めたa,bをこの式に代入してみましょう。

数学の式5(立式力) 【計算力】

これを解くと、

数学の式6(立式力) 【計算力】

これが2点A,Bのx座標ですから、※1の式に代入して計算しましょう。

数学の式7(立式力) 【計算力】

問題文から「ABの長さが2以上」ですから、【読解力】

数学の式8(立式力) 【立式力】

これを計算すると、

数学の式9(立式力) 【計算力】

というkの範囲が得られます。これが求めたかった答えですね。

どうでしょうか?5つの能力がどのように使われているかおわかりいただけたでしょうか。
【論理力】が無いと思われるかもしれませんが、このように解答の流れを組み立てる力そのものが【論理力】です。もちろん、前提となる【知識】はいたるところで使われています。
問題が難しくなればなるほど、必要とされる能力もより多岐に、レベルの高いものが求められます。
ちなみに、実際の試験などでは次のようにすっきりと解答をまとめて欲しいものです。このまとめる力も【論理力】のうちです。

数学の答え1

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